Trigonometric function

1. Basic formula

$\begin{array}{l}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha +{\mathrm{cos}}^{2}\alpha =1\\ \mathrm{tan}\alpha *\mathrm{cottan}\alpha =1\\ \mathrm{tan}\alpha =\frac{\mathrm{sin}\alpha }{\mathrm{cos}\alpha }=\frac{1}{\mathrm{cottan}\alpha }\\ \mathrm{cottan}\alpha =\frac{\mathrm{cos}\alpha }{\mathrm{sin}\alpha }=\frac{1}{\mathrm{tan}\alpha }\\ 1+{\mathrm{tan}}^{2}\alpha =\frac{1}{{\mathrm{cos}}^{2}\alpha }={\mathrm{sec}}^{2}\alpha \\ 1+{\mathrm{cottan}}^{2}\alpha =\frac{1}{{\mathrm{sin}}^{2}\alpha }={\mathrm{cossec}}^{2}\alpha \end{array}$

$\begin{array}{l}\mathrm{sin}\left(\alpha ±\beta \right)=\mathrm{sin}\alpha \mathrm{cos}\beta ±\mathrm{cos}\alpha \mathrm{sin}\beta \\ \mathrm{cos}\left(\alpha ±\beta \right)=\mathrm{cos}\alpha \mathrm{cos}\beta ±\mathrm{sin}\alpha \mathrm{sin}\beta \\ \mathrm{tan}\left(\alpha ±\beta \right)=\frac{\mathrm{cot}\alpha \mathrm{cot}\beta ±1}{\mathrm{cot}\beta ±\mathrm{cot}\alpha }\\ \mathrm{tan}\left(\alpha ±\beta \right)=\frac{\mathrm{tan}\alpha ±\mathrm{tan}\beta }{1±\mathrm{tan}\alpha \mathrm{tan}\beta }\end{array}$

3. The sum of trigonometric function

$\begin{array}{l}\mathrm{cos}\alpha +\mathrm{cos}\beta =2\mathrm{cos}\frac{\alpha +\beta }{2}\mathrm{cos}\frac{\alpha -\beta }{2}\\ \mathrm{cos}\alpha -\mathrm{cos}\beta =-2\mathrm{sin}\frac{\alpha +\beta }{2}\mathrm{sin}\frac{\alpha -\beta }{2}\\ \mathrm{sin}\alpha +\mathrm{sin}\beta =2\mathrm{sin}\frac{\alpha +\beta }{2}\mathrm{cos}\frac{\alpha -\beta }{2}\\ \mathrm{sin}\alpha -\mathrm{sin}\beta =2\mathrm{cos}\frac{\alpha +\beta }{2}\mathrm{sin}\frac{\alpha -\beta }{2}\\ \mathrm{sin}\alpha +\mathrm{cos}\alpha =\sqrt{2}\mathrm{sin}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\mathrm{cos}\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\\ \mathrm{sin}\alpha -\mathrm{cos}\alpha =\sqrt{2}\mathrm{sin}\left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2}\mathrm{cos}\left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)\\ \mathrm{tan}\alpha +\mathrm{tan}\beta =\frac{\mathrm{sin}\left(\alpha +\beta \right)}{\mathrm{cos}\alpha \mathrm{cos}\beta }\\ \mathrm{tan}\alpha -\mathrm{tan}\beta =\frac{\mathrm{sin}\left(\alpha -\beta \right)}{\mathrm{cos}\alpha \mathrm{cos}\beta }\\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha +\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta =\frac{\mathrm{sin}\left(\alpha -\beta \right)}{\mathrm{sin}\alpha \mathrm{sin}\beta }\\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha -\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta =\frac{\mathrm{sin}\left(\beta -\alpha \right)}{\mathrm{sin}\alpha \mathrm{sin}\beta }\\ \mathrm{tan}\alpha +\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha =2\mathrm{cos}\mathrm{sec}2\alpha \\ \mathrm{tan}\alpha -\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha =-2\mathrm{cos}\mathrm{sec}2\alpha \end{array}$

4. The product of trigonometric function

$\begin{array}{l}\mathrm{cos}\alpha \mathrm{cos}\beta =\frac{1}{2}\left[\mathrm{cos}\left(\alpha -\beta \right)+\mathrm{cos}\left(\alpha +\beta \right)\right]\\ \mathrm{sin}\alpha \mathrm{sin}\beta =\frac{1}{2}\left[\mathrm{cos}\left(\alpha -\beta \right)-\mathrm{cos}\left(\alpha +\beta \right)\right]\\ \mathrm{sin}\alpha \mathrm{cos}\beta =\frac{1}{2}\left[\mathrm{sin}\left(\alpha +\beta \right)+\mathrm{sin}\left(\alpha -\beta \right)\right]\\ \mathrm{tan}\alpha \mathrm{tan}\beta =\frac{\mathrm{tan}\alpha +\mathrm{tan}\beta }{\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha +\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta }=-\frac{\mathrm{tan}\alpha -\mathrm{tan}\beta }{\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha +\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta }\\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha \mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta =\frac{\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha +\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta }{\mathrm{tan}\alpha +\mathrm{tan}\beta }=-\frac{\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha -\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta }{\mathrm{tan}\alpha -\mathrm{tan}\beta }\\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha \mathrm{tan}\beta =\frac{\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha +\mathrm{tan}\beta }{\mathrm{tan}\alpha +\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta }=-\frac{\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha -\mathrm{tan}\beta }{\mathrm{tan}\alpha -\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta }\end{array}$

5. The power of trigonometric function

$\begin{array}{l}{\mathrm{sin}}^{2}\alpha =\frac{1}{2}\left(1-\mathrm{cos}2\alpha \right)\\ {\mathrm{cos}}^{2}\alpha =\frac{1}{2}\left(1+\mathrm{cos}2\alpha \right)\\ {\mathrm{tan}}^{2}\alpha =\frac{1-\mathrm{cos}2\alpha }{1+\mathrm{cos}2\alpha }\\ {\mathrm{sin}}^{3}\alpha =\frac{1}{4}\left(3\mathrm{sin}\alpha -\mathrm{sin}3\alpha \right)\\ {\mathrm{cos}}^{3}\alpha =\frac{1}{4}\left(3\mathrm{cos}\alpha +\mathrm{cos}3\alpha \right)\end{array}$

6. Double angle formula

$\begin{array}{l}\mathrm{sin}2\alpha =2\mathrm{sin}\alpha \mathrm{cos}\alpha \\ \mathrm{cos}2\alpha =2{\mathrm{cos}}^{2}\alpha -1=1-2{\mathrm{sin}}^{2}\alpha ={\mathrm{cos}}^{2}\alpha -{\mathrm{sin}}^{2}\alpha \\ \mathrm{tan}2\alpha =\frac{2\mathrm{tan}\alpha }{1-{\mathrm{tan}}^{2}\alpha }\\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}2\alpha =\frac{\mathrm{cot}{\mathrm{tan}}^{2}\alpha -1}{2\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha }=\frac{\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha -\mathrm{tan}\alpha }{2}\\ \mathrm{sin}3\alpha =3\mathrm{sin}\alpha -4{\mathrm{sin}}^{3}\alpha \\ \mathrm{cos}3\alpha =4{\mathrm{cos}}^{3}\alpha -3\mathrm{cos}\alpha \\ \mathrm{tan}3\alpha =\frac{3\mathrm{tan}\alpha -{\mathrm{tan}}^{3}\alpha }{1-3{\mathrm{tan}}^{2}\alpha }\\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}3\alpha =\frac{\mathrm{cot}{\mathrm{tan}}^{3}\alpha -3\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha }{3\mathrm{cot}{\mathrm{tan}}^{2}\alpha -1}\end{array}$

7. Half angle formula

$\begin{array}{l}\mathrm{sin}\frac{\alpha }{2}=±\sqrt{\frac{1-\mathrm{cos}\alpha }{2}}\\ \mathrm{cos}\frac{\alpha }{2}=±\sqrt{\frac{1+\mathrm{cos}\alpha }{2}}\\ \mathrm{tan}\frac{\alpha }{2}=\frac{\mathrm{sin}\alpha }{1+\mathrm{cos}\alpha }=\frac{1-\mathrm{cos}\alpha }{\mathrm{sin}\alpha }=±\sqrt{\frac{1-\mathrm{cos}\alpha }{1+\mathrm{cos}\alpha }}\\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}\frac{\alpha }{2}=\frac{\mathrm{sin}\alpha }{1-\mathrm{cos}\alpha }=\frac{1+\mathrm{cos}\alpha }{\mathrm{sin}\alpha }=±\sqrt{\frac{1+\mathrm{cos}\alpha }{1-\mathrm{cos}\alpha }}\\ \mathrm{sin}\alpha =\frac{2\mathrm{tan}\frac{\alpha }{2}}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\frac{\alpha }{2}}\\ \mathrm{cos}\alpha =\frac{1-{\mathrm{tan}}^{2}\frac{\alpha }{2}}{1+{\mathrm{tan}}^{2}\frac{\alpha }{2}}\\ \mathrm{tan}\alpha =\frac{2\mathrm{tan}\frac{\alpha }{2}}{1-{\mathrm{tan}}^{2}\frac{\alpha }{2}}\\ |\mathrm{cos}\alpha ±\mathrm{sin}\alpha |=\sqrt{1+\mathrm{sin}2\alpha }\\ 1+\mathrm{cos}\alpha =2{\mathrm{cos}}^{2}\frac{\alpha }{2}\\ 1-\mathrm{cos}\alpha =2{\mathrm{sin}}^{2}\frac{\alpha }{2}\\ 1+\mathrm{sin}\alpha ={\left(\mathrm{sin}\frac{\alpha }{2}+\mathrm{cos}\frac{\alpha }{2}\right)}^{2}=2{\mathrm{cos}}^{2}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)\\ 1-\mathrm{sin}\alpha ={\left(\mathrm{sin}\frac{\alpha }{2}-\mathrm{cos}\frac{\alpha }{2}\right)}^{2}=2{\mathrm{sin}}^{2}\left(\frac{\pi }{4}-\frac{\alpha }{2}\right)\end{array}$

8. Interior angle formula

$\begin{array}{l}\alpha +\beta +\gamma =180°\\ \mathrm{sin}\alpha +\mathrm{sin}\beta +\mathrm{sin}\gamma =4\mathrm{cos}\frac{\alpha }{2}\mathrm{cos}\frac{\beta }{2}\mathrm{cos}\frac{\gamma }{2}\\ \mathrm{cos}\alpha +\mathrm{cos}\beta +\mathrm{cos}\gamma =4\mathrm{sin}\frac{\alpha }{2}\mathrm{sin}\frac{\beta }{2}\mathrm{sin}\frac{\gamma }{2}+1\\ \mathrm{sin}\alpha +\mathrm{sin}\beta -\mathrm{cos}\gamma =4\mathrm{sin}\frac{\alpha }{2}\mathrm{sin}\frac{\beta }{2}\mathrm{cos}\frac{\gamma }{2}\\ \mathrm{cos}\alpha +\mathrm{cos}\beta -\mathrm{cos}\gamma =4\mathrm{cos}\frac{\alpha }{2}\mathrm{cos}\frac{\beta }{2}\mathrm{sin}\frac{\gamma }{2}-1\\ {\mathrm{sin}}^{2}\alpha +{\mathrm{sin}}^{2}\beta +{\mathrm{sin}}^{2}\gamma =2\mathrm{cos}\alpha \mathrm{cos}\beta \mathrm{cos}\gamma +2\\ {\mathrm{sin}}^{2}\alpha +{\mathrm{sin}}^{2}\beta -{\mathrm{sin}}^{2}\gamma =2\mathrm{sin}\alpha \mathrm{sin}\beta \mathrm{sin}\gamma \\ \mathrm{sin}2\alpha +\mathrm{sin}2\beta +\mathrm{sin}2\gamma =4\mathrm{sin}\alpha \mathrm{sin}\beta \mathrm{sin}\gamma \\ \mathrm{sin}2\alpha +\mathrm{sin}2\beta -\mathrm{sin}2\gamma =4\mathrm{cos}\alpha \mathrm{cos}\beta \mathrm{sin}\gamma \\ \mathrm{tan}\alpha +\mathrm{tan}\beta +\mathrm{tan}\gamma =\mathrm{tan}\alpha \mathrm{tan}\beta \mathrm{tan}\gamma \\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}\frac{\alpha }{2}+\mathrm{cot}\mathrm{tan}\frac{\beta }{2}+\mathrm{cot}\mathrm{tan}\frac{\gamma }{2}=\mathrm{cot}\mathrm{tan}\frac{\alpha }{2}\mathrm{cot}\mathrm{tan}\frac{\beta }{2}\mathrm{cot}\mathrm{tan}\frac{\gamma }{2}\\ \mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha \mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta +\mathrm{cot}\mathrm{tan}\beta \mathrm{cot}\mathrm{tan}\gamma +\mathrm{cot}\mathrm{tan}\alpha \mathrm{cot}\mathrm{tan}\gamma =1\end{array}$